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超限归纳法

超限归纳法

正文
又称超穷归纳法,数学中用来证明某种类型命题的重要方法,亦称超限归纳证法。设 (Χ,≤)是一个良序集,对任意α∈Χ,Χα={b∈Χ│b<α}称为在Χ中由α所确定的截段。E嶅Χ称为归纳子集,如果对于任何α∈Χ,只要截段Χα嶅E,就有α∈E。超限归纳定理断言:设E为良序集(Χ,≤)的归纳子集,则E=Χ。因为若α为Χ的最小元素,则由,可得α∈E:如果α┡为Bα={b∈Χ│b>α}的最小元素,那么Χα‘={x∈Χ│x<α┡}={α}嶅E,遂有α┡∈E。同理可得α″=(α┡)┡∈E等等。容易看出,Χ的良序性是定理成立的重要依据,倘若把它改为Χ是全序集,则Χ的非空子集可以没有最小元素,命题就不成立了。当Χ为自然数集N时,就得到上述定理的一个常用的特殊情况,称为数学归纳法,表述为:若E嶅N,满足①0∈E;②对于任何n∈N,如果由一切小于n的自然数k∈E,可以推出n∈E,则E=N。其中一切小于 n的自然数k∈E相当于Nn嶅E,而0∈E则是的结果。在引进“类”概念的前提下,超限归纳定理可以叙述为:设C是一个序数类,如果①0∈C;②若α∈C,可得α┡=α+1∈C;③若α为极限序数,并且对一切β<α,β∈C,就必然有α∈C,则C是所有序数的类。
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douwai1606
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  • 创建时间: 2010-07-30 05:26:00
  • 更新时间: 2010-07-30 05:26:00

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